Fonctions exponentielles - Énoncé 2

1. On considère la fonction \(h:t\mapsto 5^t\) définie sur \([0~;+\infty[\) .

    a. Donner le sens de variation de \(h\) .

    b. Compléter à l'aide de la calculatrice le tableau de valeurs suivant (arrondir au centième si besoin).

\(\begin{array}{|c|c|} \hline t&0&1&\sqrt2&2&3{,}2&\dfrac{21}{3}&6 \\ \hline h(t)&...&...&...&...&...&...&...\\ \hline \end{array}\)

2. a. Calculer \(h(3{,}4)\times h(1{,}6)\) puis \(h(5).\) Que constate-t-on ?

    b. En utilisant vos connaissances sur les fonctions exponentielles, prouver que ce résultat était prévisible.

3. On considère le réel  \(a\) tel que \(h(a)=2{,}9\) .

    a. Sans chercher à déterminer la valeur de \(a\) , démontrer que `h(2a)=(h(a))^2` , puis que \(h(a)h(2a)=(h(a))^3\) .

    b. Soit \(n\) un entier naturel. Conjecturer puis démontrer l'expression de \(h(na)\) en fonction de \(h(a)\) et de \(n.\)